πρόλογος

Ένα μπλογκ για τα κλάσματα χρησιμεύει γιατί:

Α) το διδακτικό βιβλίο των μαθηματικών  της ε’ τάξης δεν έχει κερδίσει την εμπιστοσύνη της εκπαιδευτικής κοινότητας,

Β) οι εργασίες που έχουν αναρτήσει συνάδελφοι στο διαδίκτυο αν και είναι εξαιρετικά βοηθητικές, είναι μάλλον σκόρπιες και αποσπασματικές,

Γ) η επιτυχία στα μαθηματικά επηρεάζει σημαντικά τη σχολική σταδιοδρομία των μαθητών, άρα είναι κρίσιμο να στηριχθεί,

Δ) τα μαθηματικά προσφέρουν τρόπους για να κατανοήσουμε τον κόσμο

και Ε) τα κλάσματα αποτελούν ένα οικοδόμημα, η νοητική κατάκτηση του οποίου μπορεί να συμβάλει στην διανοητική αυτοπεποίθηση των εντεκάχρονων παιδιών, και αυτή με τη σειρά της στη διαμόρφωση κριτικά σκεπτόμενων πολιτών.

Η κατάκτηση των κλασμάτων μπορεί να σημάνει ότι τα παιδιά θα προχωρήσουν στην παραγωγή αφηρημένων συλλογισμών (κανόνων), τα περιεχόμενα των οποίων είναι αναπότρεπτα και υποχρεωτικά, όσο κι αν στην αρχή φαίνονται παράλογα.  Η παραγωγή τέτοιου τύπου συλλογισμών (ή η κατανόηση και η χρησιμοποίησή τους) αποκαλύπτει μία καινούργια ζωή: αυτή της πειθαρχημένης διανοητικής εργασίας. 

Στην  περίπτωση αυτή, η γνώση δεν σημαίνει απομνημόνευση. Σημαίνει τη λογική επεξεργασία μίας και μόνο σύμβασης  για την αντιμετώπιση μιας πολύ μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων σε ένα πολύ μεγάλο αριθμό περιβαλλόντων. Εδώ η σκέψη δεν αποτελεί ένα άναρχο πεδίο ατομικής περιπλάνησης, αλλά έναν καθολικά οργανωμένο και κοινό για όλους τους ανθρώπους χώρο, στον οποίο αυτοί μπορούν να κινούνται με ασφάλεια και ισότητα.  Η διανοητική αυτοπεποίθηση (η αίσθηση δηλαδή ότι μπορώ να σκέφτομαι, να ανακαλύπτω, να ανατρέπω και να εγκαταλείπω λανθασμένα και ανεπαρκή προφανή σχήματα πρόσληψης του κόσμου) και η ισότιμη συμμετοχή σε ένα πανανθρώπινο χώρο είναι οι μεγαλύτερες προσφορές της διδασκαλίας των κλασμάτων σε μια παιδαγωγική που αναζητά τη συμβολή της στην κριτική συνειδητοποίηση των μαθητών.

Με τη σειρά της η διανοητική αυτοπεποίθηση είναι απαραίτητη, για να μην υποκλίνονται εύκολα οι πολίτες στη γοητεία του ύφους, αλλά να εξετάζουν και να κρίνουν το περιεχόμενο των λόγων και των πολιτικών.  Αυτό δεν σημαίνει ότι όσοι γνωρίζουν κλάσματα είναι κριτικά σκεπτόμενοι πολίτες.    Όχι μόνο γιατί κάποιοι μαθαίνουν ακόμη και όταν η διδασκαλία περιορίζεται στην παράθεση και εφαρμογή έτοιμων και ακατανόητων κανόνων, αλλά και γιατί η κοινωνία και το σχολείο έχει πολλούς και πιο ισχυρούς τρόπους να επηρεάζει την πολιτική παιδεία των μαθητών.  Παρ’ όλα αυτά, τα κλάσματα αποτελούν μία δυνατότητα.

Για να αξιοποιηθεί η δυνατότητα αυτή, πολλά από τα φυλλάδια που έχουν αναρτηθεί  στο μπλογκ αυτό, προσπαθούν να δώσουν νόημα στους κανόνες με την αξιοποίηση των εικόνων. Ταυτόχρονα στο μπλογκ έχει αναρτηθεί και μια σειρά «σπαζοκεφαλιών», προβλημάτων και δραστηριοτήτων που δουλεύουν με την κατανόηση της βασικής σύμβασης των κλασμάτων (ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζουμε κάτι και ο αριθμητής πόσα από αυτά παίρνουμε) και τη δημιουργική αξιοποίησή της. Ακόμα όμως και στα φυλλάδια που δεν υπάρχουν εικόνες για την νοηματοδότηση των αλγόριθμων, μπορούν εύκολα να προστεθούν ερωτήματα με τα οποία θα ζητάμε από τους μαθητές να εξηγήσουν (είτε γραπτά είτε με σχέδια) τον καινούργιο αλγόριθμο, αναφερόμενοι στη βασική σύμβαση..  Σε κάθε περίπτωση, για να προσφερθεί η δυνατότητα αυτή σε όλους τους  μαθητές, χρειαζόμαστε δυο πράγματα: από τη μία να συμφωνήσουμε στην ευρύτερη στόχευση της διδασκαλίας (των κλασμάτων στην συγκεκριμένη περίπτωση), και από την άλλη περισσότερο διδακτικό χρόνο. Η αναμόρφωση του αναλυτικού προγράμματος και η μείωση της ύλης είναι απαραίτητες. Χωρίς τη συμφωνία στην ευρύτερη επιδίωξη και χωρίς την απαραίτητη άνεση χρόνου τα ίδια φυλλάδια μπορεί να εξυπηρετούν ριζικά διαφορετικέ παιδαγωγικές. 

Τα περισσότερο από τα ήδη αναρτημένα φυλλάδια αντλήθηκαν από το nrich.maths.org και από το http://www.commoncoresheets.com/.  

Το μπλογκ δεν αποτελεί μια ολοκληρωμένη πρόταση διδασκαλίας, αλλά μια αποθήκη διδακτικού υλικού. Η αποθήκη μπορεί να εμπλουτιστεί, συνεπώς η συμβολή κάθε συναδέλφου με την ανάρτηση κι άλλου υλικού είναι καλοδεχούμενη. 

συγκρίσεις με βάση τον κοινό αριθμητή ή παρονομαστή

Οι μαθητές καλούνται να κάνουν συγκρίσεις με βάση τον κοινό αριθμητή ή τον κοινό παρονομαστή. φυλλάδιο

συγκρίσεις, προσθέσεις και αφαιρέσεις ομώνυμων

Οι μαθητές πρέπει να κάνουν απλές προσθέσεις ή αφαιρέσεις ομώνυμων για να κάνουν συγκρίσεις. φυλλάδιο

από το μικρό στο μεγάλο

 Οι μαθητές βρίσκονται μπροστά σε τριάδες κλασμάτων και καλούνται να βρουν εκείνες που ξεκινούν από το μικρό και τελειώνουν στο μεγαλύτερο. Στο συγκεκριμένο φυλλάδιο οι μαθητές καλούνται να διαλέγουν κάθε φορά τη σωστή μέθοδο σύγκρισης, χρησιμοποιώντας άλλοτε ως βάση τον κοινό αριθμητή κι άλλοτε τον κοινό παρονομαστή. φυλλάδιο

ανάγνωση συγκρίσεων

Οι μαθητές καλούνται να "διαβάσουν" τα σκιασμένα μέρη και να βρουν την σύγκριση που ταιριάζει σε κάθε περίπτωση.   φυλλάδιο

ανάγνωση και σύγκριση ομώνυμων

Οι μαθητές καλούνται να διαβάσουν ως κλάσμα το σκιασμένο μέρος και να κάνουν συγκρίσεις ομώνυμων. φυλλάδιο

ανάγνωση και σύγκριση με το μισό

Οι μαθητές καλούνται να "διαβάσουν" ως κλάσμα το σκιασμένο μέρος σχημάτων και συνόλων και να το συγκρίνουν με το μισό. φυλλάδιο

ανάγνωση κλασμάτων

Εδώ οι μαθητές καλούνται να διαβάσουν το σκιασμένο μέρος σχημάτων ως κλάσμα και να το γράψουν φυλλάδιο 

κάθε σχήμα ένα κλάσμα

Οι ασκήσεις αυτές αξιοποιούν την έννοια του κλάσματος σε περιβάλλον σπαζοκεφαλιάς και προσφέρονται για την εξάσκηση σε πράξεις κλασμάτων. 
φυλλάδιο

προβλήματα: πρώτα τη μία (κλασματική μονάδα)

Τέσσερα προβλήματα αναγωγής στην κλασματική μονάδα. Η δυσκολία τους έγκειται στην ανάγκη κατανόησης της έννοιας του κλάσματος, αφού κάθε φορά  οι μαθητές θα πρέπει να επιλέγουν αν θα διαιρέσουν με τον αριθμητή ή με τον παρονομαστή.
φυλλάδιο 

μοιράζοντας στα δύο

Μπορείς να κόψεις ένα χαρτί Α4 σε δύο ίσα μέρη; Μπορείς να το κάνεις με πολλούς τρόπους; Με πόσους;

Προσπάθησε να βρεις όσους περισσότερους μπορείς. Μην το φοβάσαι, δοκίμασε διάφορους.
Μπορείς να ξεκινήσεις μ' αυτούς τους δύο.

Πώς θα βεβαιώνεσαι κάθε φορά ότι τα κομμάτια που έκοψες είναι ίσα;

πηγή: http://nrich.maths.org/13059

για καλωδιωμένους

Ο σύνδεσμος που ακολουθεί παραπέμπει σε μία από τις  άπειρες ηλεκτρονικές εφαρμογές που μπορεί να φανεί χρήσιμη σε δασκάλες και δασκάλους που διαθέτουν διαδραστικό πίνακα (ή υπολογιστή και προτζέκτορα) και σύνδεση με το διαδίκτυο στην τάξη τους. Κάνει λίγο πιο εύκολη τη διδασκαλία της έννοιας του κλάσματος και τις συγκρίσεις κλασμάτων. Κερδίζεις χρόνο κι έτσι διευκολύνεις την μετατροπή των εννοιών σε εικόνες.  Ίσως όμως χάνεις σε σκέψη και φαντασία. Μάλλον θα ήταν προτιμότερο να χρησιμοποιείται με μέτρο. https://www.mathlearningcenter.org/web-apps/fractions/

στα 2;

Κάποιος προσπάθησε να κόψει τα παραλληλόγραμμα σε δύο ίσα μέρη. Τα κατάφερε; πώς μπορείς να το ελέγξεις;

Μπορείς να βρεις κι άλλους τρόπους για να κάνεις την ίδια μοιρασιά;

πηγή: https://nrich.maths.org/1788
πρόσθετα υλικά: 1 , 2

τετράγωνο, τρίγωνα, κλάσματα

Στο σχέδιο που ακολουθεί έχουμε ένα τετράγωνο. Από την πάνω δεξιά γωνία του χαράξαμε δύο ευθείες προς το μέσο των απέναντι πλευρών. Στη συνέχεια με μία νέα ευθεία ενώσαμε τα δύο μέσα. 

Σχηματίστηκαν 4 τρίγωνα. Τα διακρίνεις;
Τι μέρος (κλάσμα) της επιφάνειας του τετραγώνου αποτελεί κάθε τρίγωνο;

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το πρώτο σχέδιο, σχεδιάσαμε την εικόνα που ακολουθεί. Πώς;
Ποιο γεωμετρικό σχήμα εμφανίζεται στο κέντρο του σχεδίου μας;
Τι μέρος (κλάσμα) του συνολικού σχεδίου αποτελεί;

Σχηματίστηκαν 4 τρίγωνα. Τα διακρίνεις;
Τι μέρος (κλάσμα) της επιφάνειας του τετραγώνου αποτελεί κάθε τρίγωνο;

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το πρώτο σχέδιο, σχεδιάσαμε την εικόνα που ακολουθεί. Πώς;
Ποιο γεωμετρικό σχήμα εμφανίζεται στο κέντρο του σχεδίου μας;
Τι μέρος (κλάσμα) του συνολικού σχεδίου αποτελεί;

πηγή: https://nrich.maths.org/

κόβουμε στη μέση

Μπορείτε να κόψετε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήματα έτσι ώστε τα δύο κομμάτια του να είναι ακριβώς ίδια μεταξύ τους; 

            

πηγή:https://nrich.maths.org/217

τρίγωνο στο λουλούδι

Παρακολουθήστε το βίντεο BryonyTriangle.mp4  στο οποίο η παρουσιάστρια δείχνει πως να φτιάξουμε ένα λουλούδι από ένα τετράγωνο χαρτί.

Στη συνέχεια θέτει ένα προκλητικό ερώτημα: τι μέρος (κλάσμα) του τετράγωνου χαρτιού αποτελεί το σκιασμένο τρίγωνο; 

μουσείο κλασμάτων

Στο βίντεο αυτό ο δάσκαλος αξιοποιεί την ιδέα του μουσείου και των εκθεμάτων του, για να ωθήσει τα παιδιά να εμβαθύνουν στην έννοια του κλάσματος. Τα παιδιά "κατασκευάζουν" κλάσματα, τα εκθέτουν, συζητούν γι' αυτά με τους συμμαθητές τους, τα εξηγούν, φτιάχνουν μικρά αινίγματα και παίζουν μ' αυτά.Η μέθοδος που αξιοποιείται ίσως είναι προτιμότερη στις μικρές τάξεις (π.χ. στην τρίτη), όταν τα παιδιά μπορούν απλώς να εξοικειώνονται με την έννοια του κλάσματος, χωρίς να αναμένεται από αυτά να την ελέγξουν, όπως συμβαίνει στην πέμπτη.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει μετάφραση.

γαλάζιο και μπλε

πηγή https://nrich.maths.org/2086 

Ψάχνουμε το μέρος που καταλαμβάνει το γαλάζιο σε κάθε σχήμα.

Μπορείς να βρεις ποια θα ήταν τα δύο επόμενα τετράγωνα αν συνεχίζαμε με αυτόν τον τρόπο;

ακολουθίες Φάρεϋ

Είναι εύκολο να τοποθετήσουμε στη σειρά, από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, μια σειρά δεκαδικών αριθμών. Αλλά τι γίνεται με τα κλάσματα;

Κάποτε, ένας κύριος που λεγόταν John Farey ανακάλυψε σειρές κλασμάτων κατά μέγεθος (από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο), τις ονόμασαν ακολουθίες Φάρεϋ.

Η τρίτη ακολουθία Φάρεϋ είναι έτσι:


Περιέχει σε σειρά μεγέθους όλα τα κλάσματα μεταξύ του 0 και του 1, στην απλούστερη μορφή τους και με παρονομαστές που δεν ξεπερνούν το 3.  

Συνεχίζουμε με την τέταρτη ακολουθία Φάρεϋ.


Μπορείτε να βρείτε την πέμπτη;
5.

Ποια επιπλέον κλάσματα εμφανίζονται στην πέμπτη ακολουθία, ενώ δεν υπήρχαν στην τέταρτη;


Χρησιμοποιήστε την πέμπτη ακολουθία για να φτιάξετε την έκτη και την έβδομη. 

Να και κάποια επιπλέον ερωτήματα: 

Στην ενδέκατη ακολουθία υπάρχουν πολλά κλάσματα που δεν υπήρχαν στην δέκατη.
Υπάρχουν όμως μονάχα λίγα κλάσματα που εμφανίζονται στην δωδέκατη ακολουθία και δεν υπάρχουν στην ενδέκατη. 
Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί;

Πότε χρειαζόμαστε πολλά καινούργια κλάσματα για την επόμενη ακολουθία Φάρεϋ;

Κάθε ακολουθία Φάρεϋ είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη; Πώς το ξέρουμε; 

Μέχρι τώρα κάθε ακολουθία Φάρεϋ περιέχει ένα μονό αριθμό κλασμάτων. Μπορείς να βρεις μια ακολουθία Φάρεϋ με ζυγό αριθμό κλασμάτων; 

κατασκευάζουμε τον τοίχο των κλασμάτων

Στο βίντεο αυτό, παρουσιάζεται μια ιδέα για την εισαγωγή στην έννοια του κλάσματος ή του ισοδύναμου κλάσματος.
Με ψαλίδι, χαρτόνι και μαρκαδόρους τα παιδιά κατασκευάζουν τον τοίχο των κλασμάτων.
Από εκεί και πέρα οι δραστηριότητες που μπορούν να γίνουν μ' αυτόν είναι πολλές.

Δεν είναι ανάγκη να παρακολουθήσει κανείς και τα 9 λεπτά του βίντεο. Αρκεί να δει από το 2:00 ως το 6:30 περίπου.

ισοδύναμα κλάσματα στον τοίχο των κλασμάτων

Για την κατανόηση της έννοιας των ισοδύναμων κλασμάτων εξαιρετικά χρήσιμη είναι η εικόνα του τοίχου των κλασμάτων. Με τη βοήθεια της οι μαθητές μπορούν να απαντήσουν πλήθος ερωτήσεων, 
π.χ.  μπορείτε να βρείτε ισοδύναμα του  τάδε κλάσματος; πόσα;
ή 

πόσα;

χρησιμοποιώντας και πάλι την εικόνα του τοίχου των κλασμάτων, γράψτε με διαφορετικούς τρόπους τα 34

ή
μήπως μπορείτε να βρείτε κάποιον κανόνα για να δουλεύετε με τα ισοδύναμα κλάσματα;
Μετά από αυτό η συζήτηση για τους τρόπους παραγωγής ισοδύναμων κλασμάτων αποκτά εμπειρικά στηρίγματα. 

  

προβλήματα

Εδώ είναι συγκεντρωμένα τα προβλήματα κλασμάτων από τους διαγωνισμούς της μαθηματικής εταιρείας για την ε' τάξη. φυλλάδιο 

συγκρίσεις με το 0, το 1 και το μισό

Τα παιδιά καλούνται να σκεφτούν το 0, το 1 και το μισό ως κλάσματα. φυλλάδιο

κλάσμα συνόλου (2)

Εδώ ασχολούμαστε και πάλι με την επέκταση της έννοιας του κλάσματος σε σύνολα.
φυλλάδιο

κλάσμα συνόλου

Αρκετοί μαθητές δυσκολεύονται στην επέκταση της έννοιας του κλάσματος από την ακέραιη μονάδα στα σύνολα. Οι ασκήσεις αυτές καταπιάνονται με αυτή τη δυσκολία.
φυλλάδιο 

κλάσμα στην αριθμογραμμή (2)

Ασκήσεις θέσης και απόστασης στην αριθμογραμμή. φυλλάδιο

κλάσμα στην αριθμογραμμή

Αναγνώριση κλάσματος στην αριθμογραμμή. Μια άσκηση από την μαθηματική εταιρεία. φυλλάδιο. 

ασκήσεις σκίασης μέρους

Συγκεντρωμένες ασκήσεις σκίασης μέρους (κλάσματος) από διαγωνισμούς της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για την ε' τάξη. φυλλάδιο

εισαγωγικό

Στις ασκήσεις αυτές οι μαθητές ονομάζουν το σκιασμένο μέρος. φυλλάδιο